수리물리에서 자주 등장하는 Symbol 중 가장 기초적인 것은 Kroneker-Delta(크로네커-델타)와 Levi-Civita Symbol(레비 시비타 심볼)이 있습니다.

우선 약속부터 보면,

 

(1) Kroneker-Delta

\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \ i \not= j\ 1 & \ i=j \ \end{array} \right.

크로네커 델타의 경우 인덱스의 두개가 같으면 1이고 다르면 0이 됩니다.

 

(2) Levi-Civita

\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{permutation}\ -1 & \textrm{anti-permutation}\ 0 & \textrm{all other cases} \end{array} \right.

 

레비-시비타의 경우 permutation이라는 단어가 나옵니다. 순열이라는 뜻인데요. 이는 1,2,3 이 순서대로 나오는 것을 의미합니다.

따라서 123 혹은 231, 312를 의미합니다. 숫자의 순서가 바뀌지 않으면서 배열되어야 하지요.

이와 반대의 경우는 permutation이 아닌 경우(반대의 경우) 입니다. 즉 213, 213, 321 인 경우이지요.

\epsilon_{123}=-\epsilon_{132}

 

3개의 숫자를 세 번 써서 만들 수 있는 경우의 수 중에 이 6가지를 제외한 다른 방법은 모두 같은 숫자가 2개 이상 들어가게 됩니다.

따라서 이런 경우에는 값이 0이 됩니다.

 

이런 약속은 왜 쓰냐구요? 크로네커 델타의 경우는 다양하게 쓰입니다. 예를 들자면 직교성을 살펴볼 때 사용할 수 있습니다.

\hat x \cdot \hat y = \delta_{xy} = 0 \ \hat x \cdot \hat x = \delta_{xx} = 1

레비-시비타는 벡터의 외적(corss product)의 계산을 빠르게 하기 위해 쓰입니다. 외적은 다음과같이 계산될 수 있습니다.

C_{i}=\sum_{jk}^3 \epsilon_{ijk} A_{j} B_{k}

 

이 식을 천천히 뜯어보도록 하겠습니다. 우선 i=1 일 때는 x축 성분값을 구할 수 있습니다. 그럼 j와 k는 2, 3 또는 3,2 가 되겠지요. 숫자가 서로 2,2 또는 3,3일 경우 입실론은 0이 됩니다. 그럼 계산은 다음처럼 됩니다.

\epsilon_{123}A_{2}B_{3}+\epsilon_{132}A_{3}B_{2} \ \ 1\cdot A_{2}B_{3}+(-1)\cdot A_{3}B_{2} \ A_{2}B_{3} - A_{3}B_{2}

마찬가지로 계산을 따라가면 다음과 같은 계산을 얻을 수 있습니다. 이는 외적의 계산과 똑같지요.

\hat x (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}) + \hat y (A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}) + \hat z(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})

이외에 응용으로는 다음과 같은 방법이 있으며 계산이 복잡한 문제를 푸는데 큰 도움을 줍니다.

 

\sum_{k} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})

 

이상입니다.

 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

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