수리물리에서 자주 등장하는 Symbol 중 가장 기초적인 것은 Kroneker-Delta(크로네커-델타)와 Levi-Civita Symbol(레비 시비타 심볼)이 있습니다.
우선 약속부터 보면,
(1) Kroneker-Delta
![\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \ i \not= j\ 1 & \ i=j \ \end{array} \right.](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cdelta_%7Bij%7D%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%200%20%26%20%5C%20i%20%5Cnot%3D%20j%5C%5C%0A%201%20%26%20%5C%20i%3Dj%20%5C%5C%0A%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.)
크로네커 델타의 경우 인덱스의 두개가 같으면 1이고 다르면 0이 됩니다.
(2) Levi-Civita
![\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{permutation}\ -1 & \textrm{anti-permutation}\ 0 & \textrm{all other cases} \end{array} \right.](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cepsilon_%7Bijk%7D%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%201%20%26%20%5Ctextrm%7Bpermutation%7D%5C%5C%0A%20-1%20%26%20%5Ctextrm%7Banti-permutation%7D%5C%5C%0A%200%20%26%20%5Ctextrm%7Ball%20other%20cases%7D%0A%20%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.)
레비-시비타의 경우 permutation이라는 단어가 나옵니다. 순열이라는 뜻인데요. 이는 1,2,3 이 순서대로 나오는 것을 의미합니다.
따라서 123 혹은 231, 312를 의미합니다. 숫자의 순서가 바뀌지 않으면서 배열되어야 하지요.
이와 반대의 경우는 permutation이 아닌 경우(반대의 경우) 입니다. 즉 213, 213, 321 인 경우이지요.
![\epsilon_{123}=-\epsilon_{132}](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cepsilon_%7B123%7D%3D-%5Cepsilon_%7B132%7D)
3개의 숫자를 세 번 써서 만들 수 있는 경우의 수 중에 이 6가지를 제외한 다른 방법은 모두 같은 숫자가 2개 이상 들어가게 됩니다.
따라서 이런 경우에는 값이 0이 됩니다.
이런 약속은 왜 쓰냐구요? 크로네커 델타의 경우는 다양하게 쓰입니다. 예를 들자면 직교성을 살펴볼 때 사용할 수 있습니다.
![\hat x \cdot \hat y = \delta_{xy} = 0 \ \hat x \cdot \hat x = \delta_{xx} = 1](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Chat%20x%20%5Ccdot%20%5Chat%20y%20%3D%20%5Cdelta_%7Bxy%7D%20%3D%200%20%5C%5C%0A%5Chat%20x%20%5Ccdot%20%5Chat%20x%20%3D%20%5Cdelta_%7Bxx%7D%20%3D%201)
레비-시비타는 벡터의 외적(corss product)의 계산을 빠르게 하기 위해 쓰입니다. 외적은 다음과같이 계산될 수 있습니다.
![C_{i}=\sum_{jk}^3 \epsilon_{ijk} A_{j} B_{k}](http://eq.springnote.com/tex_image?source=C_%7Bi%7D%3D%5Csum_%7Bjk%7D%5E3%20%5Cepsilon_%7Bijk%7D%20A_%7Bj%7D%20B_%7Bk%7D)
이 식을 천천히 뜯어보도록 하겠습니다. 우선 i=1 일 때는 x축 성분값을 구할 수 있습니다. 그럼 j와 k는 2, 3 또는 3,2 가 되겠지요. 숫자가 서로 2,2 또는 3,3일 경우 입실론은 0이 됩니다. 그럼 계산은 다음처럼 됩니다.
![\epsilon_{123}A_{2}B_{3}+\epsilon_{132}A_{3}B_{2} \ \ 1\cdot A_{2}B_{3}+(-1)\cdot A_{3}B_{2} \ A_{2}B_{3} - A_{3}B_{2}](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cepsilon_%7B123%7DA_%7B2%7DB_%7B3%7D%2B%5Cepsilon_%7B132%7DA_%7B3%7DB_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%5C%201%5Ccdot%20A_%7B2%7DB_%7B3%7D%2B%28-1%29%5Ccdot%20A_%7B3%7DB_%7B2%7D%20%5C%5C%0AA_%7B2%7DB_%7B3%7D%20-%20A_%7B3%7DB_%7B2%7D)
마찬가지로 계산을 따라가면 다음과 같은 계산을 얻을 수 있습니다. 이는 외적의 계산과 똑같지요.
![\hat x (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}) + \hat y (A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}) + \hat z(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Chat%20x%20%28A_%7By%7DB_%7Bz%7D-A_%7Bz%7DB_%7By%7D%29%20%2B%20%5Chat%20y%20%28A_%7Bx%7DB_%7Bz%7D-A_%7Bz%7DB_%7Bx%7D%29%20%2B%20%5Chat%20z%28A_%7Bx%7DB_%7By%7D-A_%7By%7DB_%7Bx%7D%29)
이외에 응용으로는 다음과 같은 방법이 있으며 계산이 복잡한 문제를 푸는데 큰 도움을 줍니다.
![\sum_{k} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})](http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Csum_%7Bk%7D%20%5Cepsilon_%7Bijk%7D%5Cepsilon_%7Blmk%7D%3D%28%5Cdelta_%7Bil%7D%5Cdelta_%7Bjm%7D-%5Cdelta_%7Bim%7D%5Cdelta_%7Bjl%7D%29)
이상입니다.
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